아래의 주요 섹션을 살펴보고, 분석틀의 각 요소를 클릭하거나 전체 PISA 2022 수학 평가틀 초안 PDF 파일을 다운받으시오.
PISA 2022 수학 평가틀은 수학적 추론과 문제해결(수학적 모델링)의 세 과정과 관련된 수학 소양의 기본 개념을 바탕으로 하는PISA 수학 평가의 이론적 토대를 설명한다. 그리고 평가틀은 수학 내용 지식에 대한 네 가지 하위범주와 학생들이 수학적인 도전 속에서 직면하게 되는 맥락에 대한 네 가지 하위범주도 설명한다.
PISA는 건설적이고 참여적이며 반성적인 21세기 시민으로서 학생들이 개인적, 시민적, 직업적 삶의 모든 측면에서 수학을 사용할 수 있도록 국가가 효과적으로 준비하고 있는지를 평가한다.
수학 소양은 다양한 실생활 맥락에서 수학적으로 추론하고 문제를 해결하기 위하여 수학을 형식화하고 이용하고 해석하는 개인의 능력이다. 여기에는 현상을 기술하고 설명하며 예측하기 위해 수학적 개념, 절차, 사실, 도구를 사용하는 것이 포함된다. 수학 소양은 개인이 실세계에서 수학의 역할을 인식하고, 건설적이고 참여적이며 반성적인 21세기 시민에게 요구되는 근거가 탄탄한 판단과 의사결정을 할 수 있도록 도와준다.
PISA 2022은 새로운 기술과 트렌드로 급변하는 세계에서 시민들이 자신과 사회를 위하여 창의적이고 참여적이며 정형화되지 않은 판단을 할 때 수학을 고려하게 하는 것을 목표로 한다. 이에 따라 항상 PISA 평가틀의 일부였던 수학적으로 추론하는 능력에 주목할 필요가 있다. 또한 기술의 변화는 학생들이 수학 소양의 일부분인 컴퓨팅 사고(computational thinking)의 개념을 이해해야 할 필요를 야기하였다. 최종적으로, 이 평가틀은 PISA에서 대부분의 학생들이 개선된 컴퓨터 기반 평가를 이용함을 인식한 것이다.
논리적으로 추론하고 정직하고 설득력 있는 방식으로 주장을 제기하는 능력은 오늘날 세계에서 점점 중요해지고 있다. 수학은 확실하고 영구적인 결론을 얻기 위해 ‘수학적 추론’을 사용하여 다양한 방식으로 분석하고 변형할 수 있는 잘 정의된 대상과 개념에 대한 과학이다.
수학에서 학생들은 적절한 추론과 가정을 통해 다양한 실생활 맥락에서 항상 참인 결과에 도달할 수 있음을 배울 수 있다. 또한 이러한 결론은 공정하고, 타당성을 위한 어떤 외부의 권위도 필요하지 않다는 점이 중요하다.
6가지 핵심 이해는 적어도 수학적 추론을 구성하고 뒷받침한다. 이러한 핵심 이해는 다음을 포함한다.
핵심 이해를 보다 상세히 살펴보려면 아래 버튼을 사용하시오.
수학 소양 정의에서 ‘형식화하기’ 는 수학을 사용하는 기회를 인식하고 확인해서 맥락화된 문제에 수학적 구조를 제공하는 능력을 의미한다. 수학적으로 상황을 형식화하는 과정에서 학생들은 문제를 분석하고 설정하고 해결하기 위해 필수적인 수학을 어디서 추출할 수 있는지를 결정한다. 학생들은 실세계 상황을 수학적 구조로 번역하고, 실세계 맥락의 문제에 수학적 구조, 표현, 특이성(specificity)을 제공한다. 학생들은 문제에 대해 추론하고, 문제의 제약과 가정을 이해한다. 특히, 수학적으로 상황을 ‘형식화’하는 데에는 다음의 활동이 포함된다.
** 이 활동을 목록에 제시한 것은 문항 개발자가 낮은 성취수준의 학생들이 접근할 수 있는 문항을 포함하는 것을 중요하게 생각할 수 있도록 하기 위해서이다
수학 소양 정의에서 ‘이용하기’는 수학적으로 형식화된 문제로부터 수학적 해를 구하기 위해 수학적 개념, 사실, 절차, 추론을 적용할 수 있는 능력을 의미한다. 문제해결을 위한 수학적 개념, 사실, 절차, 추론을 이용하는 과정에서 학생들은 수학적 해를 찾고 결과를 도출하는 데 필요한 수학적 절차를 수행한다. 문제 상황의 모델을 연구하고, 규칙성을 밝히고, 수학적 실체 간의 연결성을 확인하고, 수학적 논증을 만든다. 특히, 수학적 개념, 사실, 절차, 추론을 이용하는 데에는 다음 활동이 포함된다.
** 이 활동을 목록에 제시한 것은 문항 개발자가 낮은 성취수준의 학생들이 접근할 수 있는 문항을 포함하는 것을 중요하게 생각할 수 있도록 하기 위해서이다.
수학 소양의 정의에서 ‘해석하기(와 평가하기)’ 는 수학적 해, 결과 또는 결론을 파악하고, 이를 실세계 문제의 맥락에서 해석하는 능력을 의미한다. 문제 맥락에서 수학적 해나 추론을 해석하고 그 결과가 합리적인지 아닌지, 의미가 있는지의 여부를 판단하는 것을 포함한다.
구체적으로 수학적 결과를 해석, 적용, 평가하는 과정에는 다음의 활동이 포함된다.
** 이 활동을 목록에 제시한 것은 문항 개발자가 낮은 성취수준의 학생들이 접근할 수 있는 문항을 포함하는 것을 중요하게 생각할 수 있도록 하기 위해서이다.
수학 내용에 대한 이해-의미 있는 맥락 문제 해결을 위한 지식 적용 능력-는 현대 사회의 시민에게 중요하다. 즉, 수학적으로 추론하고 문제를 해결하고 개인적, 직업적, 사회적, 과학적 맥락에서 상황을 해석하기 위해 학생들은 확실한 수학 지식과 이해에 의존해야 한다.
PISA 2012부터 사용된 다음 내용 요소는 광범위한 범위의 문제, 일반적인 수학적 구조, 학교 교육과정의 정규과정 내용을 기초로 수학적 현상을 반영한 PISA 2022에서도 다시 사용된다.
네 가지 주제가 PISA 2022에서 특별히 강조된다. 이 주제는 수학 내용 요소로서 새로운 것은 아니지만, 특별히 강조할 필요가 있다.
우리가 살고 있는 세계와 관련되어 적용되는데 있어 가장 광범위하게 사용되는 필수적인 수학적 양상은 아마도 양이라는 개념일 것이다. 여기에는 실제 세계에 있는 대상, 관계, 상황, 개체의 속성을 수량화하고, 이러한 수량화의 다양한 표현을 이해하고, 양을 기반으로 하는 해석과 주장을 판단하는 것이 포함된다. 실제 세계를 수량화한다는 것은 측정, 세기, 크기, 단위, 척도, 상대적 크기, 수치적 추이와 패턴에 대한 이해를 수반한다.
수량화는 실세계 양상의 방대한 속성을 설명하고 측정하는 주요한 방법이다. 여기에는 상황을 모델링하고, 변화와 관계를 조사하고, 공간과 모양을 묘사하고 조작하고, 자료를 조직하고 해석하며, 불확실성을 측정하고 평가하는 것이 포함된다.
독감이 유행하거나 박테리아가 발생하는 위험, 기후 변화의 위협을 이해하기 위해서 사람들은 선형 관계에 따라 사고할 뿐만 아니라 그러한 현상은 매우 급격한 증가를 나타내는 비선형 모델을 필요로 함을 또한 알아야 한다. 선형 관계는 보편적이고 이해하기 쉽지만 선형성을 가정하는 것이 때로는 위험할 수 있다.
증가 현상을 변화와 관계의 내용 체계에서 핵심 부분으로 규정하는 것이 학생들이 지수함수를 공부했어야 한다는 기대를 시사하지는 않으며, 당연히 문항들은 지수함수에 대한 지식을 요구하지 않을 것이다. 그 대신 학생들이 다음을 알고 있으리라 기대하는 문항들은 있을 것이다. (a) 모든 증가가 선형적인 것은 아니다. (b) 비선형 증가는 어떤 상황을 이해하는 방식에 대해 심오한 것을 내포한다.
오늘날의 세계는 균등 또는 대칭이라는 전형적인 패턴을 따르지 않는 모양으로 가득 차 있다. 간단한 식은 불규칙성을 다루지 않기 때문에, 우리가 보는 것을 이해하고 결과로 나타나는 구조의 넓이와 부피를 구하는 것이 더욱 어려워지고 있다.
기하적 근사를 공간과 모양의 내용 체계에서 핵심 부분으로 규정하는 것은 학생들이 다양한 전형적인 상황에서 나타나는 전통적인 공간과 모양 현상에 대한 이해를 사용할 수 있어야 함을 시사한다.
수학 소양에서 중요한 것은 맥락이 설정된 문제를 해결하는 데 수학을 이용한다는 것이다. 맥락은 문제가 배경으로 하고 있는 각각의 세계를 의미한다. 적절한 수학적 전략과 표현의 선택은 종종 문제가 놓여있는 맥락에 달려있다. PISA에서는 다양한 맥락을 사용하는 것이 중요하다.
개인적 맥락의 문제는 학생 자신, 자신의 가족, 동료 집단에서의 활동과 관련된다. 개인적 맥락에는 음식 준비, 쇼핑, 게임, 개인의 건강, 개인의 운송수단, 스포츠, 여행, 개인적인 일정, 재정 운영 등과 관련된 문제들이 여기에 포함된다(물론 여기에만 제한되는 것은 아니다).
직업적 맥락의 문제는 직업 세계에 중점을 둔다. 직업적으로 분류되는 문항은 측정하기, 필요한 재료의 비용과 정렬, 급여지급/회계, 품질관리, 일정관리/재고조사, 설계/건축, 직업과 관련된 의사결정 등과 관련된 문제들이 여기에 포함된다(물론 여기에만 제한되는 것은 아니다). PISA 문항이 만15세 학생에게만 접근 가능하지만, 직업적 맥락은 미숙련 직업에서 전문적인 직업까지 모든 수준의 인력과 관련될 수 있다.
사회적 맥락의 문제는 (지역 사회, 국가, 세계) 공동체에 초점을 둔다. 사회적 맥락에는 투표, 대중교통, 정부, 공공 정책, 인구통계, 광고, 국가 통계 및 경제 등과 관련된 문제들이 여기에 포함된다(물론 여기에만 제한되는 것은 아니다). 비록 개인들이 이러한 모든 것들에 개인적인 방식으로 관여하지만, 사회적 맥락에서 문제의 초점은 공동체 관점에 있다.
과학적 맥락의 문제는 수학을 자연 및 과학과 공학과 관련된 이슈와 주제에 적용하는 것과 관련된다. 구체적인 맥락은 날씨 또는 기후, 생태계, 의학, 우주 과학, 유전학, 측정, 수학 자체와 관련된 문제들이 여기에 포함된다(물론 여기에만 제한되는 것은 아니다). 모든 요소가 수학에 속하는 수학 내적 문항은 과학적 맥락에 속한다.
문항 개발자는 이러한 21세기 역량을 고려하였으나, PISA 2022 수학 문항이 특별히 이러한 역량에 맞춰 개발된 것은 아니다.
다음은 PISA 2022 수학 평가에 대한 예제이다. 아래의 각 버튼을 클릭하면 예제가 제시된다.
Jason Hill is a senior research analyst and consultant in the education unit of RTI International, an U.S.-based independent research institute dedicated to improving the human condition. With expertise in education research, Mr. Hill has provided services to the U.S. government and private clients for the past 15 years. His work has centered on surveys and assessments of students, teachers, and postsecondary institutions. Mr. Hill directed a national study of U.S. college students that followed a sample of 35,000 college freshman through higher education and into the labor market. In 2019, Mr. Hill served as a consultant to the OECD in the long-term strategy planning of PISA beyond 2025. Mr. Hill also leads a business development team with the express intent to fostering innovation and business growth. He has a master’s degree from The George Washington University, and resides in Raleigh, NC.
Andreas Schleicher is Director for Education and Skills, and Special Advisor on Education Policy to the Secretary-General at the Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD). He initiated and oversees the Programme for International Student Assessment (PISA) and other international instruments which create a global platform for policy-makers, researchers and educators to innovate and transform educational policies and practices. He has worked for over 20 years with Ministers and educational leaders around the world to improve quality and equity in education. U.S. Education Secretary Arne Duncan said about Andreas in The Atlantic (7/2011) that “He understands the global issues and challenges as well as or better than anyone I’ve met, and he tells me the truth”. Secretary of State Michael Gove in the United Kingdom called Andreas “the most important man in English education”, never mind that he is German and lives in France. Andreas is the recipient of numerous honours and awards, including the “Theodor Heuss” prize, awarded for “exemplary democratic engagement” in the name of the first president of the Federal Republic of Germany. He holds an honorary professorship at the University of Heidelberg.
Laurie Miles is a Senior Director for SAS UK & Ireland and a renowned industry expert in all things Analytics. With 30 years of real-world analytics experience and expertise, Laurie provides analytics guidance and thought leadership both internally at SAS and with customer and prospects across all industry sectors. Laurie joined SAS in 1996 as a consultant delivering analysis focussed projects to organisations and in 2000, became SAS UK’s Head of Retail Banking Technology. Laurie’s career took an international turn in 2003 when he became responsible for SAS’ technical management of HSBC globally, where his expertise supported the bank’s global use of advanced analytics. He continued in this role until January 2008 when he was asked to form the SAS UK Analytics Practice as the Head of Analytics for SAS UK and Ireland. During this time, Laurie worked with some of the UK’s largest organisations providing strategic advice and forming industry best practice. He also pioneered the development of the SAS Results-as-a-Service analytics solution. In January 2015, he was appointed to lead this globally as part of the SAS Cloud Analytics proposition which went from strength to strength in 2016 with projects being delivered all over the world; it is now one of the key SAS global initiatives. Following this success, Laurie returned to SAS UKI in February 2017 to his current role: leading the pre-sales organisation. Laurie holds a BSc in Econometrics, an MSc in Game Theory and a PhD in Number Theory.
Lucy Dasgupta is the Strategic Leader for Mathematics and Director of Teaching and Learning at John Mason School, Abingdon, Oxfordshire. She has taught mathematics to 11-18-year olds in mixed comprehensive secondary schools in Oxfordshire for over 25 years. She has collaborated with members of the Department of Education, Oxford University on research projects focusing on classroom discourse and the teaching of functions. She completed her own action research projects as part of her MSc in Learning and Teaching on aspects of verbal and written feedback in maths classrooms. She has worked as a PGCE mentor, professional tutor and part-time curriculum tutor for the Department of Education, Oxford University. She has an interest in the professional development of maths teachers and established and runs a local teacher network group.