המסגרת המושגית של מבחני פיזה 2022 במתמטיקה מגדירה את העקרונות התיאורטיים העומדים בבסיס הערכת פיזה במתמטיקה על פי המושג הבסיסי של אוריינות מתמטית, וקושרת בין חשיבה מתמטית ובין שלושה תהליכים של מעגל פתרון הבעיות (המידול המתמטי). המסגרת המושגית מתארת את החלוקה של ידע התוכן המתמטי לארבע קטגוריות תוכן. היא מתארת גם ארבע קטגוריות של הקשרים שבהם התלמידים מתמודדים עם אתגרים מתמטיים.

הערכת פיזה מודדת עד כמה מדינות שונות מכינות את תלמידיהן להשתמש במתמטיקה בהיבטים השונים של חייהם האישיים, האזרחיים והמקצועיים, בתור אזרחים תורמים, מעורבים וחושבים במאה ה-21.

היכולת לחשוב ולהסיק מסקנות באופן הגיוני ולהציג טיעונים בדרכים כנות ומשכנעות היא מיומנות שחשיבותה הולכת וגוברת בעולמנו כיום. מתמטיקה היא מדע העוסק באובייקטים וברעיונות מוגדרים היטב שניתן לנתח ולשנות בדרכים שונות בעזרת "חשיבה מתמטית" במטרה להגיע למסקנות ודאיות ועל-זמניות.

במתמטיקה, התלמידים לומדים כי בעזרת ההנחות המתאימות והדרכים הנכונות להסקת המסקנות הם יכולים להגיע לתוצאות שניתן לבטוח באמיתותן במגוון רחב של הקשרים מהעולם האמיתי. לא פחות חשוב הוא שהתוצאות הללו אובייקטיביות ואין צורך בסמכות חיצונית שתאשר את תוקפן.

לפחות ששה סוגי הבנה מרכזיים מקנים מבנה ותימוכין לחשיבה מתמטית. סוגי ההבנה הללו כוללים:

• הבנה של כמויות, מערכות מספרים ותכונותיהן ההנדסיות;
• הערכת הכוח הטמון בהפשטה ובייצוג סימבולי;
• תפיסה של מבנים מתמטיים ושל החוקיות המאפיינת אותם;
• זיהוי של יחסים פונקציונליים בין כמויות;
• שימוש במידול מתמטי כעדשה שדרכה משתקף העולם האמיתי (למשל מודלים המשמשים במדעי החומר, החיים, החברה, הכלכלה וההתנהגות);
• הבנת השונוּת כלב לׅבּה של הסטטיסטיקה.

לחצו על החצים כדי לקרוא ביתר פירוט על סוגי ההבנה המרכזיים.

המילה לנסח בהגדרה של אוריינות מתמטית מתייחסת ליכולתם של בני אדם לזהות הזדמנויות להשתמש במתמטיקה ולהציע מבנה מתמטי לבעיה המוצגת בהקשר כלשהו. בתהליך הניסוח המתמטי של מצבים, הם מחליטים היכן אפשר לבודד מתוך המצב את המתמטיקה הדרושה כדי לנתח, להגדיר ולפתור את הבעיה. הם מתרגמים את הבעיה מהעולם האמיתי לתחום המתמטיקה, ומספקים לה מבנה, ייצוגים וייחודיות מתמטיים. הם מבצעים היסקים על האילוצים וההנחות שבבעיה ומבינים את משמעותם. תהליך הניסוח של מצבים בדרך מתמטית כולל פעילויות כגון אלו:

• בחירת מודל מתאים מתוך רשימה**.
• זיהוי ההיבטים המתמטיים של בעיה הנתונה בהקשר של העולם האמיתי, וזיהוי המשתנים המשמעותיים בה.
• זיהוי המבנה המתמטי (ובכלל זה חוקיות, יחסים ודפוסים) בבעיות או במצבים שונים.
• פישוט של מצב או של בעיה כדי להקל על הניתוח המתמטי שלהם.
• זיהוי האילוצים וההנחות שמאחורי כל מידול מתמטי, וזיהוי ההפשטות שבוצעו על ההקשר.
• ייצוג מתמטי של מצב באמצעות משתנים, סמלים, דיאגרמות ומודלים מקובלים מתאימים.
• ייצוג של בעיה בדרך אחרת, ובכלל זה ארגונה על פי מושגים מתמטיים והנחת הנחות מתאימות.
• הבנה והסבר של היחסים בין השפה המתאימה להקשר שבו הבעיה נתונה, לבין השפה הסימבולית והפורמלית הנחוצה כדי לייצג את הבעיה בדרך מתמטית.
• תרגום הבעיה לשפה מתמטית או לייצוג מתמטי.
• זיהוי ההיבטים בבעיה אשר תואמים בעיות מוכרות או מושגים, עובדות או פרוצדורות מתמטיות מוכרות.
• שימוש בכלים טכנולוגיים (כגון גיליון נתונים או האפשרות לערוך טבלה במחשבון גרפי) כדי להציג את היחס המתמטי הקיים בבעיה כלשהי הנתונה בהקשר.
• יצירת סדרת הוראות מסודרת (צעד אחר צעד) לפתרון בעיות.

** פעילות זו כלולה ברשימה כדי להדגיש כי על המפתחים של פריטי המבחן לכלול פריטים הנגישים לתלמידים בקצה הנמוך של סולם ההישגים.

המילה ליישם בהגדרה של אוריינות מתמטית מתייחסת ליכולתם של בני אדם להשתמש במושגים, עובדות, הליכים והיסקים מתמטיים כדי לפתור בעיות המנוסחות בדרך מתמטית ולהגיע למסקנות מתמטיות. כאשר בני אדם משתמשים במושגים, עובדות, פרוצדורות והיסקים מתמטיים כדי לפתור בעיות, הם מבצעים את הפרוצדורות המתמטיות הדרושות כדי לקבל תוצאות ולמצוא פתרון מתמטי. הם עובדים על מודל של המצב המתואר בבעיה, מאתרים חוקיות, מזהים קשרים בין ישויות מתמטיות ומנסחים טיעונים מתמטיים. תהליך זה של שימוש במושגים, עובדות, פרוצדורות והיסקים מתמטיים כולל פעילויות כגון אלו:

• ביצוע חישוב פשוט. **
• הסקת מסקנה פשוטה. **
• בחירת אסטרטגיה מתאימה מתוך רשימה. **
• תכנון והוצאה לפועל של אסטרטגיות למציאת פתרונות מתמטיים.
• שימוש בכלים מתמטיים, ובכללם כלים טכנולוגיים, כדי למצוא פתרונות מדויקים או מקורבים.
• שימוש בעובדות, כללים, אלגוריתמים ומבנים מתמטיים למציאת פתרונות.
• מניפולציה על מספרים, מידע ונתונים גרפיים וסטטיסטיים, משוואות וביטויים אלגבריים, וייצוגים גיאומטריים.
• יצירת דיאגרמות, גרפים ומבנים מתמטיים, וחילוץ מידע מתמטי מתוכם.
• שימוש בייצוגים שונים, ומַעבר ביניהם, בתהליך מציאת הפתרונות.
ניסוח הכללה על סמך התוצאות המתקבלות מהשימוש בהליכים מתמטיים לשם מציאת פתרונות.
• רפלקציה על טיעונים מתמטיים, הסבר של תוצאות מתמטיות והצדקתן.
• להעריך עד כמה משמעותיים הדפוסים והחוקיות שנצפו (או הוצעו) בנתונים.

** פעילויות אלו כלולות ברשימה כדי להדגיש כי על המפתחים של פריטי המבחן לכלול פריטים הנגישים לתלמידים בקצה הנמוך של סולם ההישגים.

המילה לפרש (ולהעריך) בהגדרה של אוריינות מתמטית מתמקדת ביכולתם של אנשים לחשוב על תוצאות, מסקנות או פתרונות מתמטיים, ולפרשם במסגרת ההקשר של הבעיה מהעולם האמיתי שמלכתחילה הניעה את התהליך. לשם כך עליהם לתרגם פתרונות או היסקים מתמטיים בחזרה להקשר המקורי של הבעיה ולקבוע אם התוצאות סבירות והגיוניות בהקשר זה.

תהליך זה של פירוש תוצאות מתמטיות, שימוש בהן והערכתן כולל פעילויות כגון אלו:

• פירוש מידע המוצג בצורה גרפית ו/או בדיאגרמות.**
• הערכה של תוצאה מתמטית ביחס להקשר שבו היא נתונה.**
• פירוש תוצאה מתמטית בחזרה אל ההקשר של העולם האמיתי.
• הערכת הסבירות של פתרון מתמטי כלשהו בהקשר של בעיה מהעולם האמיתי.
• הבנה כיצד העולם האמיתי משפיע על התוצאות והחישובים של פרוצדורה או מודל מתמטי, וזאת כדי לשפוט על פי ההקשר כיצד יש להתאים את התוצאות או להשתמש בהן.
• הסבר מדוע תוצאה או מסקנה מתמטית כלשהי הגיונית – או אינה הגיונית – בהקשר של הבעיה.
• הבנת ההיקף והמגבלות של מושגים מתמטיים ושל פתרונות מתמטיים.
• הפעלת ביקורת על המודל המשמש לפתרון הבעיה וזיהוי מגבלותיו.
• שימוש בחשיבה מתמטית וחישובית כדי לערוך תחזיות, לספק נימוקים לטיעונים, ולבחון פתרונות אפשריים ולהשוות ביניהם.

** פעילויות אלו כלולות ברשימה כדי להדגיש כי על המפתחים של פריטי המבחן לכלול פריטים הנגישים לתלמידים בקצה הנמוך של סולם ההישגים.

ההבנה של תוכן מתמטי, והיכולת ליישם ידע זה בפתרון בעיות משמעותיות בהקשרים שונים, חשובות לאזרחים בעולם המודרני. כלומר, כדי לפתור בעיות ולפרש מצבים בהקשרים אישיים, תעסוקתיים, חברתיים ומדעיים, יש צורך להיעזר בידע מתמטי ובהבנות מתמטיות.

קטגוריות התוכן ששימשו בפיזה מאז 2012 משמשות שוב בפיזה 2022 כדי לשקף את התופעות המתמטיות הניצבות ביסודם של קטגוריות רחבות של בעיות, של המבנה הכללי של תחום המתמטיקה ושל הענפים העיקריים בתכניות הלימודים האופייניות לבתי הספר:

• שינוי ויחסים
• מרחב וצורה
• כמות
• אי-ודאות ועיבוד נתונים

לארבעה נושאים ניתן דגש מיוחד בפיזה 2022. נושאים אלו אינם חדשים בקטגוריות התוכן במתמטיקה, אך הם ראויים לקבל דגש מיוחד:

• תופעות של צמיחה (שינוי ויחסים)
• קירובים גיאומטריים (מרחב וצורה)
• סימולציות מחשב (כמות)
• קבלת החלטות מותנית (אי-ודאות ועיבוד נתונים)

רעיון ה"כמות" הוא אולי ההיבט המתמטי הנפוץ והחיוני ביותר לצורך מעורבות ותפקוד בעולמנו. רעיון זה משלב בתוכו כימות תכונותיהם של עצמים, יחסים, מצבים וישויות בעולם; הבנת ייצוגים שונים לכימותים אלו; ושיפוט של פירושים וטיעונים המבוססים על כמות. העיסוק בכימות העולם כרוך בהבנת מידות, ספירות, סדרי גודל, יחידות, מחוונים (אינדיקטורים), גודל יחסי, ומגמות ודפוסים מספריים.

כימות היא שיטה מרכזית לתיאור ולמדידה של מערך רחב של תכונות של היבטים שונים של העולם. היא מאפשרת מידול של מצבים, בחינה של שינויים ושל יחסים, תיאור ומניפולציה של מרחב וצורה, ארגון ופירוש של מידע, וכן מדידה והערכה של אי-ודאות.

גם במתמטיקה וגם בסטטיסטיקה ישנן בעיות שלא קל להתמודד עמן משום שהמתמטיקה הדרושה לכך מורכבת או כוללת מספר גדול של גורמים הפועלים כולם בתוך אותה מערכת. בימינו ניגשים לבעיות כאלו יותר ויותר בעזרת הדמיות (סימולציות) מחשב הפועלות בעזרת אלגוריתמיקה.

ההגדרה של הדמיות מחשב כאחד המוקדים של קטגוריית התוכן "כמות" מעידה כי בהערכה מבוססת-מחשב של תחום המתמטיקה קיימת קטגוריה רחבה של בעיות מורכבות. לדוגמה, תלמידים יכולים להשתמש בהדמיות מחשב כדי לנתח תקצוב ותכנון כחלק מפריט מבחן.

במדע, בטכנולוגיה ובחיי היום יום, אי-הוודאות היא עובדה נתונה ולפיכך היא תופעה הנמצאת בלב לבו של הניתוח המתמטי של מצבי בעיה רבים. כדי להתמודד עמה נוצרו תאוריית ההסתברות, הסטטיסטיקה וכן שיטות שונות לייצוג נתונים ולהצגתם. קטגוריית התוכן "אי-ודאות ועיבוד נתונים" כוללת את זיהוי תפקידה של השונוּת בתהליכים, הבנה מסוימת של כימות השונות הזאת, ההכרה באי-הוודאות ובטעויות הכרוכות במדידה, וידע בדבר מושג הסיכוי. היא כוללת גם את הגיבוש, הפירוש וההערכה של מסקנות שהתקבלו במצבים שבמרכזם אי-ודאות.

ההגדרה של קבלת החלטות מותנית כאחד המוקדים של קטגוריית התוכן "אי-ודאות ועיבוד נתונים" מעידה כי מצופה מהתלמידים להבין כיצד ההנחות שאותן מניחים בעת שבונים מודל משפיעות על המסקנות שאפשר להסיק ממנו, ושהנחות או קשרים שונים יכולים להביא למסקנה שונה.

בטבע וכן בסביבת מעשה ידי אדם מתקיימים מספר רב של יחסים זמניים וקבועים בין אובייקטים ונסיבות, הנוצרים כאשר מתחוללים שינויים בתוך מערכות של עצמים הקשורים זה לזה, או בנסיבות שבהן אלמנטים שונים משפיעים זה על זה. לעתים קרובות שינויים אלו מתחוללים לאורך זמן, ולעתים השינויים באחד העצמים או באחת הכמויות קשורים לשינויים באחרים. בחלק מן המצבים השינוי שחל הוא בדיד, ובאחרים השינוי רציף. טבעם של חלק מן היחסים הוא קבוע או בלתי משתנה. אוריינות גבוהה יותר בקטגוריית השינוי והיחסים כרוכה בהבנת סוגים יסודיים של שינויים ובזיהוי הנסיבות שבהן הם מתרחשים, על מנת להשתמש במודלים המתמטיים המתאימים כדי לתאר ולחזות שינוי. מבחינה מתמטית משמעות הדבר היא מידול של השינוי ושל היחסים באמצעות הפונקציות והמשוואות המתאימות, וכן יצירה, פירוש ותרגום של ייצוגים סימבוליים וגרפיים של יחסים.

כדי להבין את הסכנות שבמגפות שפעת ובהתפרצויות חיידקים, או את האיום הגלום בשינוי אקלימי, על האנשים לחשוב לא רק במונחים של קשרים לינאריים אלא להבין שתופעות כאלו מצריכות מודלים לא-לינאריים המשקפים צמיחה מהירה מאוד. קשרים לינאריים הם נפוצים וקל לזהות ולהבין אותם, אולם לעתים יכול להיות מסוכן להניח לינאריות.

ההגדרה של תופעות של צמיחה כאחד המוקדים של קטגוריית התוכן "שינוי ויחסים" אינה מעידה על ציפייה שהתלמידים ילמדו פונקציות מעריכיות, והפריטים בהחלט לא ידרשו שימוש בפונקציות מעריכיות. כן מצופה מהתלמידים לזהות בחלק מהפריטים שראשית, צמיחה אינה תמיד לינארית, ושנית, שלצמיחה לא-לינארית יש השלכות עצומות על האופן שבו אנו מבינים מצבים מסוימים.

מרחב וצורה היא קטגוריה המקיפה מגוון רחב של תופעות המתחוללות בכל מקום בעולמנו החזותי והפיזי: דפוסים, מאפייני עצמים, מיקומים וכיוונים, ייצוגי עצמים, פענוח וקידוד של מידע חזותי, ניווט, ואינטראקציה דינמית עם צורות אמיתיות ועם ייצוגים. הגיאומטריה היא אחד מיסודותיה של קטגוריות "מרחב וצורה", אולם הקטגוריה מרחיקה לכת הרבה מעבר לגיאומטריה המסורתית בכל הנוגע לתוכן, משמעות ושיטה, והיא נשענת על אלמנטים מתחומים מתמטיים אחרים כגון ויזואליזציה מרחבית, מדידה ואלגברה.

העולם של ימינו מלא צורות שאינן מתאימות לדפוסים האופייניים של אחידות או של סימטריה. מכיוון שנוסחאות פשוטות אינן נותנות מענה לצורות לא-סדירות שכאלה, גובר הקושי להבין מהו הדבר שאנו רואים ולמצוא את השטח או הנפח של המבנים המבוססים על הצורות הללו.

ההגדרה של קירובים גיאומטריים כאחד המוקדים של קטגוריית התוכן "מרחב וצורה" מעידה כי תלמידים צריכים להיות מסוגלים להשתמש בהבנה של תופעות רגילות של מרחב וצורה גם במגוון מצבים לא-אופייניים.

• חשיבה ביקורתית
• יצירתיות
• מיומנויות חקר
• הכוונה עצמית, יוזמה והתמדה
• שימוש במידע
• חשיבה מערכתית
• תקשורת
• רפלקציה והערכה

אף כי המפתחים של פריטי המבחן מכירים במיומנויות אלו של המאה ה-21, פריטי המתמטיקה בפיזה 2022 לא פותחו במיוחד על פי מיומנויות אלו.