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Le cadre pour les mathématiques du PISA 2022 définit les bases théoriques des épreuves de mathématiques du PISA à la lumière du concept fondamental de la culture mathématique, en reliant le raisonnement mathématique et trois processus du cycle de résolution de problèmes (modélisation mathématique). Il présente la répartition des connaissances mathématiques entre quatre catégories de contenus mathématiques. En outre, il décrit les quatre catégories de contextes, c’est-à-dire les situations dans lesquelles les élèves auront à mener à bien des tâches mathématiques.
L’évaluation du PISA permet de déterminer dans quelle mesure les pays préparent leurs élèves à utiliser les mathématiques dans tous les aspects de leur vie personnelle, civique et professionnelle, pour une citoyenneté du XXIe siècle à la fois constructive, engagée et réfléchie.
La culture mathématique est l’aptitude d’un individu à raisonner de façon mathématique et à formuler, à employer et à interpréter les mathématiques pour résoudre des problèmes dans un éventail de contextes du monde réel. Elle nécessite notamment des concepts, des procédures, des faits et des outils pour décrire, expliquer et prévoir des phénomènes. Elle aide les individus à connaître le rôle que les mathématiques jouent dans le monde et à se comporter en citoyennes et citoyens du XXIe siècle constructifs, engagés et réfléchis, c’est-à-dire à porter des jugements et à prendre des décisions en toute connaissance de cause.
Le PISA 2022 vise à examiner les mathématiques dans un monde en rapide évolution, mu par de nouvelles technologies et tendances, dans lequel les citoyennes et citoyens sont créatifs et engagés et prennent des décisions non routinières pour eux et la société dans laquelle ils vivent. D’où l’importance de pouvoir raisonner mathématiquement, qui a toujours fait partie du cadre du PISA. Le changement technologique donne également lieu à la nécessité pour les élèves de comprendre les concepts de la pensée computationnelle qui font partie de la culture mathématique. Enfin, le cadre reconnaît que la majorité des élèves participant au PISA ont accès à un test amélioré assisté par ordinateur.
La capacité de raisonner logiquement et de présenter des arguments de façon honnête et convaincante est une compétence de plus en plus importante dans le monde d’aujourd’hui. Les mathématiques sont une science qui porte sur des objets et des notions bien définis, lesquels peuvent être analysés et transformés de diverses façons à l’aide du « raisonnement mathématique » pour produire des conclusions certaines et intemporelles.
En mathématiques, les élèves apprennent que, si leur raisonnement et leurs hypothèses sont bons, ils peuvent arriver à des résultats dont ils seront assurés de l’exactitude dans un vaste éventail de contextes de la vie de tous les jours. Il importe également de souligner que ces conclusions sont impartiales et qu’elles n’ont nullement besoin d’être validées par une autorité externe.
Au moins six concepts clés structurent et soutiennent le raisonnement mathématique. Ces concepts sont les suivants :
À l’aide des flèches ci dessous, explorez plus à fond chaque concept clé.
Dans la définition de la culture mathématique, le mot formuler désigne la capacité qu’a une personne d’établir et de reconnaître des possibilités d’utiliser les mathématiques, puis de structurer sous forme mathématique un problème présenté jusqu’à un certain point sous une forme contextualisée. Lors de ce processus de formulation mathématique des situations, les individus déterminent les mathématiques essentielles à utiliser pour analyser, configurer et résoudre le problème. Ils transposent dans le domaine des mathématiques un problème qui s’inscrit dans un contexte tiré du monde réel et lui donnent une structure, une représentation et une spécificité d’ordre mathématique. Ils réfléchissent aux contraintes et aux hypothèses, en découvrent le sens et raisonnent à leur sujet. Plus précisément, le processus qui consiste à formuler des situations de façon mathématique englobe des activités telles les suivantes:
** Cette activité apparaît dans la liste afin de mettre en relief la nécessité pour les responsables de l’élaboration du test de prévoir des items accessibles aux élèves qui se situent au bas de l’échelle de rendement.
** Ces activités apparaissent dans la liste afin de mettre en relief la nécessité pour les responsables de l’élaboration du test de prévoir des items accessibles aux élèves qui se situent au bas de l’échelle de rendement.
Dans la définition de la culture mathématique, le verbe interpréter (et évaluer) renvoie à la capacité des individus de réfléchir à des solutions, à des résultats ou à des conclusions mathématiques et de les interpréter dans le cadre de problèmes tirés du monde réel à l’origine du processus. Ce processus consiste à traduire des solutions mathématiques ou à replacer le raisonnement dans le contexte du problème, puis à déterminer si les résultats sont plausibles et appropriés dans le contexte du problème.
Plus précisément, ce processus, qui consiste à interpréter, à appliquer et à évaluer des résultats mathématiques, englobe des activités telles les suivantes :
** Ces activités apparaissent dans la liste afin de mettre en relief la nécessité pour les responsables de l’élaboration du test de prévoir des items accessibles aux élèves qui se situent au bas de l’échelle de rendement.
Acquérir des connaissances en mathématiques – et savoir les appliquer pour résoudre des problèmes du monde réel – est important pour les citoyennes et citoyens des sociétés modernes. Il faut en effet pouvoir s’appuyer sur des connaissances mathématiques et sur une certaine compréhension des mathématiques pour raisonner de façon mathématique, résoudre des problèmes et interpréter des situations dans des contextes personnels, professionnels, sociétaux et scientifiques.
Le PISA utilise depuis 2012 les catégories de contenus suivantes, qui servent encore dans le PISA 2022 pour témoigner des phénomènes mathématiques qui sous-tendent de vastes classes de problèmes, la structure générale des mathématiques et les principales composantes des programmes d’études typiques.
Quatre sujets sont particulièrement ciblés dans l’évaluation du PISA 2022. Ils ne sont pas nouveaux par rapport aux catégories de contenus mathématiques. Il n’en demeure pas moins qu’ils méritent une attention plus grande.
La notion de quantité est peut être l’aspect mathématique le plus répandu et le plus essentiel de l’engagement et du fonctionnement dans notre monde. Elle englobe la quantification d’attributs d’objets, de relations, de situations et d’entités dans le monde, la compréhension de diverses représentations de ces quantifications et l’évaluation d’interprétations et d’arguments fondés sur la quantité. Pour appréhender la quantification, il faut comprendre le mesurage, le comptage, la magnitude, les unités, les indicateurs, la taille relative, les tendances numériques et les régularités.
La quantification est la principale méthode qui existe pour décrire et mesurer un grand nombre des attributs d’objets dans le monde. Elle permet de modéliser des situations, d’examiner les variations et les relations, de décrire et de manipuler l’espace et les formes, d’organiser et d’interpréter les données ainsi que de mesurer et d’évaluer l’incertitude.
Les mathématiques aussi bien que la statistique présentent des problèmes qui ne sont pas si faciles à résoudre en raison de la complexité des mathématiques requises ou d’un grand nombre de facteurs agissant tous à l’intérieur du même système.
Aujourd’hui, de tels problèmes sont de plus en plus étudiés à l’aide de simulations informatiques fondées sur les mathématiques algorithmiques.
Si les simulations informatiques sont un élément clé de la catégorie de contenus quantité, c’est parce que, dans le contexte d’une évaluation informatisée de mathématiques, il existe une vaste catégorie de problèmes complexes. À titre d’exemple, les élèves peuvent recourir à des simulations informatiques pour analyser des prévisions budgétaires ou une planification dans un item du test.
En sciences, dans le domaine de la technologie et dans la vie de tous les jours, l’incertitude existe de fait. Le phénomène de l’incertitude est donc au cœur de l’analyse mathématique de nombreux problèmes, et la théorie de la probabilité et la statistique, ainsi que les techniques de représentation et de description des données, ont été créées pour y répondre. Dans la catégorie de contenus incertitude et données, il s’agit de reconnaître la place de la variation dans les processus, de comprendre l’ampleur de cette variation, d’admettre la notion d’incertitude et d’erreur dans les mesures et de connaître le concept de chance. Il faut également formuler, interpréter et évaluer des conclusions dans des situations où règne l’incertitude. La quantification est la principale méthode qui existe pour décrire et mesurer un grand nombre des attributs d’objets dans le monde.
Si la prise de décisions conditionnelles est un élément clé de la catégorie de contenus incertitude et données, c’est que les élèves doivent s’attendre à devoir reconnaître que les hypothèses formulées dans l’établissement d’un modèle ont une incidence sur les conclusions susceptibles d’en être tirées et que différentes hypothèses/relations peuvent très bien aboutir à une conclusion différente.
Le monde naturel et le monde façonné par l’homme affichent une multitude de relations provisoires et permanentes entre les objets et les circonstances, dans lesquelles des changements interviennent dans des systèmes d’objets interdépendants ou dans des circonstances où les éléments s’influencent les uns les autres. Dans de nombreux cas, ces changements se produisent avec le temps. Il arrive aussi que des changements qui affectent un objet ou une quantité soient en rapport avec des changements qui ont eu lieu sur un autre objet ou quantité. Il s’agit de changements tantôt ponctuels, tantôt continus. Certaines relations sont de nature permanente. Pour mieux comprendre les variations et les relations, il faut tout d’abord comprendre les types fondamentaux de changement et les reconnaître lorsqu’ils se produisent. Il s’agit là d’une étape essentielle pour utiliser des modèles mathématiques adaptés qui permettent de décrire et de prévoir les changements. En termes mathématiques, cela revient à modéliser les variations et les relations grâce à des fonctions et à des équations appropriées, ainsi qu’à créer, à interpréter et à traduire des représentations graphiques et symboliques des relations.
Pour comprendre les dangers des épidémies de grippe, des éclosions de maladies bactériennes et du changement climatique, les gens doivent non seulement penser en termes de relations linéaires, mais également reconnaître que de tels phénomènes exigent des modèles non linéaires, à l’image de la croissance très rapide de ces phénomènes. Les relations linéaires sont courantes et faciles à reconnaître et à comprendre, mais il est parfois risqué de présumer de la linéarité d’un phénomène.
Le fait que les phénomènes de croissance soient un élément clé de la catégorie de contenus variations et relations ne signifie pas que les élèves participants doivent avoir étudié la fonction exponentielle, et les items n’exigeront certainement pas qu’ils connaissent cette fonction. Il faut plutôt s’attendre à ce que, pour certains items, les élèves soient appelés à reconnaître a) que la croissance n’est pas toujours linéaire et b) que la croissance non linéaire a des implications profondes sur la façon dont nous comprenons certaines situations.
La catégorie de contenus espace et formes englobe un large éventail de phénomènes omniprésents dans notre environnement visuel et physique : les régularités, les propriétés des objets, les positions et les orientations, les représentations d’objets, l’encodage et le décodage d’informations visuelles, la navigation et les interactions dynamiques avec des formes réelles ainsi qu’avec leur représentation. La géométrie est un fondement essentiel de la catégorie espace et formes, qui s’étend toutefois au delà des limites de cette branche en termes de contenu, de signification et de méthode, et intègre d’autres branches des mathématiques, telles que la visualisation dans l’espace, les mesures et l’algèbre.
Le monde d’aujourd’hui est rempli de formes qui ne sont pas conforment aux modèles habituels d’uniformité ou de symétrie. Parce que les formules simples ne s’appliquent pas à l’irrégularité, il est plus difficile de comprendre ce que nous voyons et de déterminer la superficie ou le volume des structures qui résultent de cette irrégularité.
Si les approximations géométriques sont un élément clé de la catégorie de contenus espace et formes, c’est que les élèves doivent pouvoir appliquer à un éventail de situations atypiques la compréhension qu’ils ont de phénomènes courants liés à l’espace et aux formes.
L’un des aspects importants de la culture mathématique réside dans l’utilisation des mathématiques pour résoudre des problèmes en contexte. Par contexte, on entend la place des problèmes dans le monde des individus. Le choix de représentations et de stratégies mathématiques appropriées dépend souvent du contexte dans lequel un problème se pose. Pour le PISA, il est important d’utiliser une grande diversité de contextes.
Les problèmes classés dans la catégorie des contextes personnels portent sur les activités d’une personne, de sa famille ou de son groupe de pairs. Les contextes personnels sont, par exemple, ceux qui ont un lien avec la préparation des aliments, les achats, les loisirs, la santé personnelle, les déplacements personnels, les sports, les voyages, les horaires personnels et les finances personnelles.
Les problèmes classés dans la catégorie des contextes professionnels se situent dans le monde du travail. Parmi les contextes à considérer comme professionnels, citons notamment ceux en rapport avec le mesurage, les devis et les commandes de matériaux de construction, la comptabilité et la gestion des salaires, le contrôle de la qualité, les inventaires et les prévisions, le design et l’architecture ainsi que la prise de décisions dans le cadre professionnel. Les contextes professionnels peuvent concerner toutes les classes de main-d’œuvre, depuis les travailleuses et travailleurs non qualifiés jusqu’à ceux qui exercent les plus hautes fonctions, même si les items du PISA doivent être accessibles à des élèves de 15 ans.
Les problèmes classés dans la catégorie des contextes sociétaux portent sur la communauté (locale, nationale ou mondiale). Ils ont trait, par exemple, aux systèmes électoraux, au transport collectif, au gouvernement, aux politiques publiques, à la démographie, à la publicité, aux statistiques nationales et à l’économie. Les individus participent à tous ces contextes à titre personnel, mais les problèmes relevant de cette catégorie se présentent avant tout sous l’angle de la collectivité.
Les problèmes classés dans la catégorie des contextes scientifiques portent sur l’application des mathématiques dans le monde naturel ainsi que sur les questions et les sujets liés aux sciences et à la technologie. Ils ont trait, par exemple, au temps qu’il fait et au climat, à l’écologie, à la médecine, à la science de l’espace, à la génétique, au mesurage et au monde des mathématiques lui-même. Les items intramathématiques, dont tous les éléments ont trait au monde des mathématiques, se classent dans la catégorie des contextes scientifiques.
Bien que les responsables de l’élaboration du test reconnaissent ces compétences du XXIe siècle, les items de mathématiques du PISA 2022 ne sont pas conçus expressément en fonction de celles-ci.
Quelques exemples d’exercices utilisés dans l’évaluation des mathématiques du PISA 2022 sont fournis plus bas. Chaque bouton donne accès à un exemple d’expérience.
Jason Hill is a senior research analyst and consultant in the education unit of RTI International, an U.S.-based independent research institute dedicated to improving the human condition. With expertise in education research, Mr. Hill has provided services to the U.S. government and private clients for the past 15 years. His work has centered on surveys and assessments of students, teachers, and postsecondary institutions. Mr. Hill directed a national study of U.S. college students that followed a sample of 35,000 college freshman through higher education and into the labor market. In 2019, Mr. Hill served as a consultant to the OECD in the long-term strategy planning of PISA beyond 2025. Mr. Hill also leads a business development team with the express intent to fostering innovation and business growth. He has a master’s degree from The George Washington University, and resides in Raleigh, NC.
Andreas Schleicher is Director for Education and Skills, and Special Advisor on Education Policy to the Secretary-General at the Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD). He initiated and oversees the Programme for International Student Assessment (PISA) and other international instruments which create a global platform for policy-makers, researchers and educators to innovate and transform educational policies and practices. He has worked for over 20 years with Ministers and educational leaders around the world to improve quality and equity in education. U.S. Education Secretary Arne Duncan said about Andreas in The Atlantic (7/2011) that “He understands the global issues and challenges as well as or better than anyone I’ve met, and he tells me the truth”. Secretary of State Michael Gove in the United Kingdom called Andreas “the most important man in English education”, never mind that he is German and lives in France. Andreas is the recipient of numerous honours and awards, including the “Theodor Heuss” prize, awarded for “exemplary democratic engagement” in the name of the first president of the Federal Republic of Germany. He holds an honorary professorship at the University of Heidelberg.
Laurie Miles is a Senior Director for SAS UK & Ireland and a renowned industry expert in all things Analytics. With 30 years of real-world analytics experience and expertise, Laurie provides analytics guidance and thought leadership both internally at SAS and with customer and prospects across all industry sectors. Laurie joined SAS in 1996 as a consultant delivering analysis focussed projects to organisations and in 2000, became SAS UK’s Head of Retail Banking Technology. Laurie’s career took an international turn in 2003 when he became responsible for SAS’ technical management of HSBC globally, where his expertise supported the bank’s global use of advanced analytics. He continued in this role until January 2008 when he was asked to form the SAS UK Analytics Practice as the Head of Analytics for SAS UK and Ireland. During this time, Laurie worked with some of the UK’s largest organisations providing strategic advice and forming industry best practice. He also pioneered the development of the SAS Results-as-a-Service analytics solution. In January 2015, he was appointed to lead this globally as part of the SAS Cloud Analytics proposition which went from strength to strength in 2016 with projects being delivered all over the world; it is now one of the key SAS global initiatives. Following this success, Laurie returned to SAS UKI in February 2017 to his current role: leading the pre-sales organisation. Laurie holds a BSc in Econometrics, an MSc in Game Theory and a PhD in Number Theory.
Lucy Dasgupta is the Strategic Leader for Mathematics and Director of Teaching and Learning at John Mason School, Abingdon, Oxfordshire. She has taught mathematics to 11-18-year olds in mixed comprehensive secondary schools in Oxfordshire for over 25 years. She has collaborated with members of the Department of Education, Oxford University on research projects focusing on classroom discourse and the teaching of functions. She completed her own action research projects as part of her MSc in Learning and Teaching on aspects of verbal and written feedback in maths classrooms. She has worked as a PGCE mentor, professional tutor and part-time curriculum tutor for the Department of Education, Oxford University. She has an interest in the professional development of maths teachers and established and runs a local teacher network group.